Calculadora de fatorial — calcula n! de um número inteiro

Como funciona

O fatorial de um número inteiro não negativo n, escrito n! (lê-se "n fatorial"), é o que você obtém multiplicando todos os números inteiros de 1 até n:

n! = 1 × 2 × 3 × ... × n

Assim, 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24. Há um caso especial fixado por definição: 0! = 1. Não é arbitrário: é o valor que faz com que as fórmulas de contagem em que os fatoriais aparecem (permutações e combinações) funcionem de forma coerente, e coincide com a convenção do "produto vazio", segundo a qual multiplicar nenhum número dá 1.

Os fatoriais contam de quantas maneiras se podem ordenar n coisas distintas: há 5! = 120 ordenações de cinco livros em uma estante. É por isso que eles aparecem por toda a probabilidade e a combinatória.

Exemplo resolvido

Calcule 5!:

5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120

Um atalho útil é que cada fatorial se apoia no anterior: n! = n × (n − 1)!. Como 5! = 120, você obtém 6! = 6 × 120 = 720 sem começar de novo, e 7! = 7 × 720 = 5 040. O crescimento é explosivo: 10! = 3 628 800 e 13! = 6 227 020 800.

Perguntas frequentes

Para que serve um fatorial?

Para contar ordenações e seleções. n! é a quantidade de maneiras de colocar n elementos distintos em ordem, então é a base das permutações, das combinações e de boa parte da probabilidade. Também aparece nos desenvolvimentos em série do cálculo (como e^x e o seno), onde cada termo é dividido por um fatorial.

Por que 0! é igual a 1?

Porque há exatamente uma maneira de ordenar o nada — a ordenação vazia — e porque a regra recursiva n! = n × (n − 1)! só se mantém coerente em n = 1 se 0! = 1 (já que 1! = 1 × 0!). Também coincide com a convenção do "produto vazio", onde multiplicar nenhum fator dá o elemento neutro da multiplicação, 1.

É possível calcular o fatorial de um número negativo ou decimal?

Não com a definição simples usada aqui: os fatoriais são definidos para os números inteiros não negativos. Existe uma generalização, a **função gama**, que estende a ideia a frações e negativos (por exemplo, (½)! envolve √π), mas é um objeto distinto e mais avançado. Esta calculadora lida com números inteiros a partir de 0.

Quanto crescem os fatoriais?

Assombrosamente: 20! é aproximadamente 2,4 × 10¹⁸, e 100! tem 158 dígitos. Como os números habituais dos computadores não podem guardar inteiros exatos além de cerca de 9 × 10¹⁵ (2⁵³), os resultados aqui são exatos até 18! e depois são arredondados para a precisão de ponto flutuante para n maiores; a entrada tem um limite de 170, além do qual o valor transbordaria para o infinito.

O que significa o símbolo "!"?

É o sinal de fatorial, introduzido por Christian Kramp em 1808. Escrito depois de um número, significa "multiplique este número por todos os inteiros menores que ele até 1". Não tem nada a ver com o significado habitual do ponto de exclamação: 5! é "cinco fatorial", igual a 120, não uma ênfase.

Qual é a diferença entre uma permutação e um fatorial?

Um fatorial n! conta as ordenações de **todos** os n elementos. Uma permutação conta as ordenações de apenas **alguns** deles — r escolhidos de n — e se constrói a partir de fatoriais como n! ÷ (n − r)!. Então o fatorial é o caso especial em que você ordena todo o conjunto de uma vez.