Calculadora de lançamento de projétil — alcance e altura

Como funciona

O lançamento de projétil trata as direções horizontal e vertical separadamente: a velocidade horizontal é constante enquanto a gravidade acelera o objeto para baixo. Para um lançamento sobre solo horizontal a uma velocidade v₀ e um ângulo θ, a OpenStax University Physics dá três resultados:

• Alcance horizontal — R = v₀² × sen(2θ) ÷ g
• Altura máxima — H = v₀² × sen²θ ÷ (2g)
• Tempo de voo — T = 2 × v₀ × senθ ÷ g

onde g é a aceleração da gravidade (9,81 m/s² perto da superfície terrestre). A velocidade vai em metros por segundo e o ângulo em graus, o que dá o alcance e a altura em metros e o tempo em segundos.

Essas três fórmulas supõem que o projétil retorna à sua altura de lançamento. Esta calculadora também aceita uma altura inicial h₀ — lançar de um penhasco, de uma mesa ou de uma plataforma. O projétil então atinge o solo abaixo, permanecendo mais tempo no ar e percorrendo mais distância. Resolver o movimento vertical h₀ + v₀ × senθ × t − ½ × g × t² = 0 para o tempo até atingir o solo dá t = (v₀ × senθ + √((v₀ × senθ)² + 2 × g × h₀)) ÷ g; o alcance é R = v₀ × cosθ × t, e o ponto mais alto fica a h₀ acima do solo em H = h₀ + v₀² × sen²θ ÷ (2g). Com h₀ = 0, estas se reduzem às fórmulas de solo horizontal acima.

Duas consequências saem diretamente da fórmula do alcance. Como sen(2θ) atinge seu máximo em 2θ = 90°, o alcance é maior com um ângulo de lançamento de 45°. E como sen(2θ) é igual para θ e 90° − θ, um projétil percorre a mesma distância horizontal em ângulos complementares — 15° e 75°, ou 30° e 60° —, um em um arco baixo e rápido, o outro alto e lento. O modelo ignora a resistência do ar, então os projéteis reais ficam um pouco abaixo desses valores ideais.

Exemplo resolvido

Lançado a 20 m/s e 45° com g = 9,81 m/s²:

• Alcance: R = 20² × sen(90°) ÷ 9,81 = 400 ÷ 9,81 ≈ 40,77 m
• Altura máxima: H = 400 × sen²(45°) ÷ (2 × 9,81) = 200 ÷ 19,62 ≈ 10,19 m
• Tempo de voo: T = 2 × 20 × sen(45°) ÷ 9,81 ≈ 2,88 s

Perguntas frequentes

Qual é o alcance de um projétil?

O alcance é a distância horizontal que um projétil percorre antes de voltar à sua altura de lançamento. Sobre solo horizontal, é R = v₀² × sen(2θ) ÷ g, onde v₀ é a velocidade de lançamento, θ o ângulo e g a gravidade.

Que ângulo de lançamento dá o alcance máximo?

45°. O alcance depende de sen(2θ), que é máximo quando 2θ = 90°, ou seja, θ = 45°, supondo que o lançamento e a chegada ao solo estão à mesma altura e que a resistência do ar é ignorada.

Por que 30° e 60° dão o mesmo alcance?

Porque sen(2θ) é idêntico para um ângulo e seu complementar: sen(60°) = sen(120°). O ângulo menor produz uma trajetória plana e rápida, e o maior um arco alto e lento, mas ambos atingem o solo à mesma distância.

Isto leva em conta a resistência do ar?

Não. Estas fórmulas supõem um lançamento de projétil ideal: apenas gravidade, sem arrasto. A resistência do ar encurta o alcance real e reduz a altura máxima, sobretudo para objetos leves ou rápidos.

Quanto tempo o projétil fica no ar?

O tempo de voo é T = 2 × v₀ × senθ ÷ g. Só importa a componente vertical da velocidade de lançamento, então um lançamento mais inclinado permanece mais tempo no ar para a mesma velocidade.

Que altura o projétil alcança?

Sua altura máxima é H = v₀² × sen²θ ÷ (2g), alcançada no topo do arco quando a velocidade vertical é momentaneamente zero. Um ângulo de lançamento mais inclinado dá um ponto mais alto; um lançamento de 90° (reto para cima) alcança a maior altura de todas, v₀² ÷ (2g). Lançado a partir de uma altura inicial h₀, o ponto mais alto fica essa mesma quantidade mais acima: H = h₀ + v₀² × sen²θ ÷ (2g).

Posso lançar o projétil de uma altura?

Sim. Defina a **altura inicial** h₀ para lançar de um penhasco, de um telhado ou de uma plataforma; o projétil atinge o solo abaixo, então permanece mais tempo no ar e percorre mais distância do que um lançamento sobre solo horizontal à mesma velocidade e ângulo. Deixe h₀ = 0 quando o lançamento e a chegada ao solo estão à mesma altura.