Calculadora de distribución binomial — k éxitos en n ensayos

Cómo funciona

La distribución binomial responde una pregunta muy común: si repites el mismo ensayo de sí/no n veces, y cada uno tiene éxito con probabilidad p, ¿cuál es la probabilidad de exactamente k éxitos? Se multiplican tres piezas:

P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1 − p)^(n − k)

• p^k — la probabilidad de que k ensayos concretos tengan éxito todos;
• (1 − p)^(n − k) — la probabilidad de que los otros n − k fallen todos;
• C(n,k) — el número de formas distintas en que esos k éxitos pueden disponerse entre los n ensayos (la combinación, "n sobre k").

La combinación es esencial: hay muchos patrones de qué ensayos tienen éxito, y cada uno tiene la misma probabilidad, así que multiplicas por cuántos hay. Los ensayos deben ser independientes y compartir la misma p.

Ejemplo resuelto

¿Cuál es la probabilidad de exactamente 3 caras en 10 lanzamientos de una moneda equilibrada? Aquí n = 10, k = 3, p = 0,5:

P = C(10,3) × 0,5³ × 0,5⁷ = 120 × 0,5¹⁰ = 120 ÷ 1024 ≈ 0,117 (11,7 %)

El 120 cuenta las formas de elegir cuáles 3 de los 10 lanzamientos son caras, y 0,5¹⁰ es la probabilidad de un patrón específico cualquiera. Cambia las probabilidades y se desplaza: acertar 5 de 20 preguntas adivinando con p = 0,25 es alrededor del 20,2 %, mientras que los 5 de 5 con p = 0,5 es apenas 0,5⁵ = 3,125 %.

Preguntas frecuentes

¿Para qué se usa la distribución binomial?

Cualquier situación con un número fijo de ensayos independientes de sí/no a una tasa de éxito constante: lanzamientos de moneda, aprobado/reprobado en control de calidad, adivinar en preguntas de opción múltiple, tasas de conversión, tiros libres encestados. Te dice qué tan probable es cada número posible de éxitos.

¿Qué son n, k y p?

**n** es el número de ensayos, **k** el número de éxitos por el que preguntas y **p** la probabilidad de éxito en un solo ensayo. La fórmula necesita los tres, y k puede ser cualquier número entero de 0 a n.

¿Qué condiciones supone?

Cuatro: un número **fijo** de ensayos n; solo **dos resultados** por ensayo (éxito o fracaso); la misma **probabilidad de éxito p** en cada ensayo; y ensayos **independientes** (un resultado no afecta a otro). Si p cambia entre ensayos, o los ensayos se influyen entre sí, el modelo binomial no se aplica.

¿Cómo hallo "al menos k" o "a lo sumo k" en lugar de exactamente k?

Suma las probabilidades individuales. "A lo sumo k" es P(0) + P(1) + ... + P(k); "al menos k" es 1 menos las probabilidades por debajo de k. Esta calculadora da la probabilidad de exactamente k, P(X=k); suma varias de esas para un rango.

¿Por qué multiplicar por la combinación C(n,k)?

Porque hay muchos órdenes distintos en que k éxitos pueden ocurrir entre n ensayos, y cada orden tiene la misma probabilidad p^k(1−p)^(n−k). C(n,k) cuenta esos órdenes, así que multiplicar por él toma en cuenta cada disposición en vez de una sola.

¿Cuál es el número promedio de éxitos?

En una distribución binomial la media es n × p, así que 10 lanzamientos de una moneda equilibrada promedian 5 caras, y 20 intentos de adivinar con p = 0,25 promedian 5 aciertos. El conteo más probable está cerca de esa media, con probabilidades que decrecen a ambos lados.