Calculadora de factorial — calcula n! de un número entero

Cómo funciona

El factorial de un número entero no negativo n, que se escribe n! (se lee "n factorial"), es lo que obtienes al multiplicar todos los números enteros desde 1 hasta n:

n! = 1 × 2 × 3 × ... × n

Así, 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24. Hay un caso especial fijado por definición: 0! = 1. No es arbitrario: es el valor que hace que las fórmulas de conteo en las que aparecen los factoriales (permutaciones y combinaciones) funcionen de forma coherente, y coincide con la convención del "producto vacío", según la cual multiplicar ningún número da 1.

Los factoriales cuentan de cuántas maneras se pueden ordenar n cosas distintas: hay 5! = 120 ordenaciones de cinco libros en un estante. Por eso aparecen por toda la probabilidad y la combinatoria.

Ejemplo resuelto

Calcula 5!:

5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120

Un atajo útil es que cada factorial se apoya en el anterior: n! = n × (n − 1)!. Como 5! = 120, obtienes 6! = 6 × 120 = 720 sin empezar de nuevo, y 7! = 7 × 720 = 5040. El crecimiento es explosivo: 10! = 3 628 800 y 13! = 6 227 020 800.

Preguntas frecuentes

¿Para qué se usa un factorial?

Para contar ordenaciones y selecciones. n! es la cantidad de maneras de poner n elementos distintos en orden, así que es la base de las permutaciones, las combinaciones y buena parte de la probabilidad. También aparece en los desarrollos en serie del cálculo (como e^x y el seno), donde cada término se divide entre un factorial.

¿Por qué 0! es igual a 1?

Porque hay exactamente una manera de ordenar la nada —la ordenación vacía— y porque la regla recursiva n! = n × (n − 1)! solo se mantiene coherente en n = 1 si 0! = 1 (ya que 1! = 1 × 0!). También coincide con la convención del "producto vacío", donde multiplicar ningún factor da el elemento neutro de la multiplicación, 1.

¿Se puede calcular el factorial de un número negativo o decimal?

No con la definición simple que se usa aquí: los factoriales se definen para los números enteros no negativos. Existe una generalización, la **función gamma**, que extiende la idea a fracciones y negativos (por ejemplo, (½)! involucra √π), pero es un objeto distinto y más avanzado. Esta calculadora maneja números enteros a partir de 0.

¿Cuánto crecen los factoriales?

Asombrosamente rápido: 20! es aproximadamente 2,4 × 10¹⁸, y 100! tiene 158 dígitos. Como los números habituales de las computadoras no pueden guardar enteros exactos más allá de unos 9 × 10¹⁵ (2⁵³), los resultados aquí son exactos hasta 18! y luego se redondean a la precisión de punto flotante para n mayores; la entrada tiene un límite de 170, más allá del cual el valor se desbordaría hasta el infinito.

¿Qué significa el símbolo "!"?

Es el signo de factorial, introducido por Christian Kramp en 1808. Escrito después de un número significa "multiplica este número por todos los enteros menores que él hasta 1". No tiene nada que ver con el significado habitual del signo de exclamación: 5! es "cinco factorial", igual a 120, no un énfasis.

¿Cuál es la diferencia entre una permutación y un factorial?

Un factorial n! cuenta las ordenaciones de **todos** los n elementos. Una permutación cuenta las ordenaciones de solo **algunos** de ellos —r elegidos de n— y se construye a partir de factoriales como n! ÷ (n − r)!. Así que el factorial es el caso especial en el que ordenas todo el conjunto de una vez.