Calculadora de permutaciones y combinaciones — nPr y nCr

Cómo funciona

Tanto las permutaciones como las combinaciones cuentan de cuántas maneras puedes elegir r elementos de un conjunto de n. La diferencia está en si importa el orden:

• Permutaciones (importa el orden) — nPr = n! ÷ (n − r)!
• Combinaciones (no importa) — nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!)

Una permutación considera "A y luego B" distinto de "B y luego A"; una combinación las trata como la misma elección. Esa es también la única diferencia en las fórmulas: la combinación divide el número de permutaciones entre r!, la cantidad de maneras de ordenar los r elementos elegidos, cancelando todas las ordenaciones que a una combinación no le importan.

Ejemplo resuelto

Elige 2 elementos de 5. Para las permutaciones, hay 5 opciones para el primero y 4 para el segundo:

nPr = 5! ÷ (5 − 2)! = 5 × 4 = 20

Para las combinaciones, divide entre 2! = 2 para ignorar el orden:

nCr = 20 ÷ 2! = 10

Así que hay 20 maneras ordenadas pero solo 10 parejas distintas. A mayor escala, la cantidad de manos de póker de 5 cartas de una baraja de 52 es una combinación (el orden en tu mano no importa): C(52, 5) = 2 598 960.

Preguntas frecuentes

¿Cuándo uso permutaciones y cuándo combinaciones?

Usa **permutaciones** cuando importa la disposición o la secuencia: órdenes de llegada en una carrera, códigos PIN, asientos en fila. Usa **combinaciones** cuando solo importa qué elementos se eligieron, no su orden: números de lotería, un comité, una mano de cartas. Si intercambiar dos elecciones produce un resultado genuinamente distinto, es una permutación.

¿Qué significan nPr y nCr?

Son notación estándar: **nPr** es la cantidad de permutaciones de r elementos entre n, y **nCr**, la cantidad de combinaciones. nCr también se escribe C(n, r) o "coeficiente binomial" y se lee "n sobre r". Aquí n es la cantidad total de elementos y r cuántos eliges.

¿Por qué la combinación divide entre r!?

Porque cada combinación de r elementos se puede ordenar de r! maneras distintas, y las permutaciones cuentan todas por separado. Dividir el número de permutaciones entre r! reduce cada grupo de ordenaciones a una sola, dejando únicamente las selecciones distintas. Por eso nCr = nPr ÷ r!.

¿r puede ser mayor que n?

No: no puedes elegir más elementos de los que tienes, así que ambos conteos quedan indefinidos cuando r supera a n, y esta calculadora no devuelve ningún valor. Elegir los n (r = n) da exactamente una combinación, y no elegir ninguno (r = 0) también da una: la selección vacía.

¿Y si los elementos pueden repetirse?

Estas fórmulas suponen que cada elemento se elige a lo sumo una vez (selección **sin reemplazo**). Si se permiten repeticiones —como un código de 4 dígitos donde los dígitos pueden repetirse— el conteo es distinto (para el caso ordenado con repetición es simplemente nʳ). Esta calculadora cubre el caso estándar sin repeticiones.

¿Cómo se relacionan con la probabilidad?

Las combinaciones son la base de muchos cálculos de probabilidad: la probabilidad de una mano o un sorteo de lotería concretos es un resultado favorable entre el número total de combinaciones. La distribución binomial, por ejemplo, usa nCr para contar de cuántas maneras pueden ocurrir k éxitos en n ensayos.