Calculadora de fórmula general — resuelve ax² + bx + c = 0

Cómo funciona

Una ecuación cuadrática tiene la forma ax² + bx + c = 0, donde a ≠ 0. La fórmula general entrega sus soluciones (raíces) directamente a partir de los tres coeficientes:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)

El ± es la razón por la que suele haber dos raíces: una con +√ y otra con −√. La expresión bajo la raíz cuadrada, b² − 4ac, se llama discriminante, y su signo lo decide todo:

• positivo → dos raíces reales distintas;
• cero → una raíz real repetida (el ± no aporta nada);
• negativo → ninguna raíz real (las raíces son complejas).

Ejemplo resuelto

Resuelve x² − 5x + 6 = 0, así que a = 1, b = −5, c = 6. Primero el discriminante:

b² − 4ac = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1

Positivo, así que dos raíces reales. Ahora la fórmula:

x = (−(−5) ± √1) ÷ (2 × 1) = (5 ± 1) ÷ 2 = 3 y 2

Puedes comprobarlo factorizando: x² − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2). Otros casos: x² − 4x + 4 = 0 tiene discriminante 0 y una única raíz repetida x = 2; x² − 9 = 0 tiene raíces +3 y −3.

Preguntas frecuentes

¿Cómo uso la fórmula general?

Identifica a, b y c en ax² + bx + c = 0 y luego sustitúyelos en x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a). Calcula primero el discriminante b² − 4ac, sácale la raíz cuadrada y después obtén los dos valores usando + y −. Cuida los signos: una b negativa se vuelve positiva como −b.

¿Qué es el discriminante y por qué importa?

El discriminante es b² − 4ac, la parte bajo la raíz cuadrada. Te indica la naturaleza de las raíces sin resolver del todo: positivo significa dos raíces reales distintas, cero significa una raíz repetida y negativo significa ninguna raíz real (dos complejas). Es la forma más rápida de saber qué tipo de respuesta esperar.

¿Y si no hay raíces reales?

Cuando el discriminante es negativo, la raíz cuadrada de un número negativo no es real, así que la ecuación no tiene soluciones reales: su parábola nunca cruza el eje x. En su lugar, las raíces son un par de números complejos. Esta calculadora muestra el discriminante para que veas por qué y deja en blanco las raíces reales.

¿Y si a = 0?

Entonces no es una ecuación cuadrática en absoluto: el término x² desaparece y te queda la ecuación lineal bx + c = 0, que se resuelve con x = −c ÷ b. La fórmula general divide entre 2a, así que a = 0 no tiene sentido aquí; ingresa una a distinta de cero.

¿Siempre puedo factorizar en vez de usar la fórmula?

Solo cuando las raíces son "sencillas". Factorizar es rápido cuando una ecuación cuadrática tiene raíces enteras o racionales simples, pero muchas —como x² − 2 = 0, con raíces ±√2— no se factorizan con números enteros. La fórmula general siempre funciona, sea factorizable o no, y por eso es el método general.

¿Cómo se relaciona la fórmula con la parábola?

Las raíces son exactamente donde la parábola y = ax² + bx + c cruza el eje x. Dos raíces reales significan dos cruces, un discriminante cero significa que el vértice apenas toca el eje (un cruce) y un discriminante negativo significa que la parábola queda por completo por encima o por debajo de él. El punto medio de las raíces, −b ÷ 2a, es el eje de simetría.