Calculadora de distribuição binomial — k de n sucessos

Como funciona

A distribuição binomial responde a uma pergunta muito comum: se você repete o mesmo ensaio de sim/não n vezes, e cada um tem sucesso com probabilidade p, qual é a chance de exatamente k sucessos? Três peças se multiplicam:

P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1 − p)^(n − k)

• p^k — a probabilidade de que k ensaios específicos tenham todos sucesso;
• (1 − p)^(n − k) — a probabilidade de que todos os outros n − k falhem;
• C(n,k) — o número de maneiras diferentes de dispor esses k sucessos entre os n ensaios (a combinação, "n escolhe k").

A combinação é essencial: há muitos padrões de quais ensaios têm sucesso, e cada um tem a mesma probabilidade, então você multiplica pela quantidade de padrões. Os ensaios precisam ser independentes e compartilhar o mesmo p.

Exemplo resolvido

Qual é a probabilidade de exatamente 3 caras em 10 lançamentos de uma moeda honesta? Aqui n = 10, k = 3, p = 0,5:

P = C(10,3) × 0,5³ × 0,5⁷ = 120 × 0,5¹⁰ = 120 ÷ 1024 ≈ 0,117 (11,7 %)

O 120 conta as maneiras de escolher quais 3 dos 10 lançamentos são caras, e 0,5¹⁰ é a probabilidade de um padrão específico qualquer. Mude as chances e ela se desloca: acertar 5 de 20 questões chutando com p = 0,25 é cerca de 20,2 %, enquanto todos os 5 de 5 com p = 0,5 é apenas 0,5⁵ = 3,125 %.

Perguntas frequentes

Para que serve a distribuição binomial?

Qualquer situação com um número fixo de ensaios independentes de sim/não a uma taxa de sucesso constante: lançamentos de moeda, aprovado/reprovado em controle de qualidade, chute em questões de múltipla escolha, taxas de conversão, arremessos livres convertidos. Ela informa o quão provável é cada número possível de sucessos.

O que são n, k e p?

**n** é o número de ensaios, **k** o número de sucessos sobre o qual você está perguntando e **p** a probabilidade de sucesso em um único ensaio. A fórmula precisa dos três, e k pode ser qualquer número inteiro de 0 a n.

Quais condições ela pressupõe?

Quatro: um número **fixo** de ensaios n; apenas **dois resultados** por ensaio (sucesso ou fracasso); a mesma **probabilidade de sucesso p** em cada ensaio; e ensaios **independentes** (um resultado não afeta o outro). Se p muda entre os ensaios, ou os ensaios se influenciam mutuamente, o modelo binomial não se aplica.

Como encontro "ao menos k" ou "no máximo k" em vez de exatamente k?

Some as probabilidades individuais. "No máximo k" é P(0) + P(1) + ... + P(k); "ao menos k" é 1 menos as probabilidades abaixo de k. Esta calculadora dá a probabilidade de exatamente k, P(X=k); some várias delas para um intervalo.

Por que multiplicar pela combinação C(n,k)?

Porque há muitas ordens diferentes em que k sucessos podem ocorrer entre n ensaios, e cada ordem tem a mesma probabilidade p^k(1−p)^(n−k). C(n,k) conta essas ordens, então multiplicar por ela leva em conta cada disposição, em vez de uma só.

Qual é o número médio de sucessos?

Em uma distribuição binomial a média é n × p — assim, 10 lançamentos de uma moeda honesta têm em média 5 caras, e 20 chutes com p = 0,25 têm em média 5 acertos. A contagem mais provável fica perto dessa média, com probabilidades decrescendo dos dois lados.