Calculadora de permutações e combinações — nPr e nCr

Como funciona

Tanto as permutações quanto as combinações contam de quantas maneiras você pode escolher r itens de um conjunto de n. A diferença está em se a ordem importa:

• Permutações (a ordem importa) — nPr = n! ÷ (n − r)!
• Combinações (não importa) — nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!)

Uma permutação considera "A e depois B" diferente de "B e depois A"; uma combinação as trata como a mesma escolha. Essa também é a única diferença nas fórmulas: a combinação divide o número de permutações por r!, a quantidade de maneiras de ordenar os r itens escolhidos, cancelando todas as ordenações que uma combinação não leva em conta.

Exemplo resolvido

Escolha 2 itens de 5. Para as permutações, há 5 opções para o primeiro e 4 para o segundo:

nPr = 5! ÷ (5 − 2)! = 5 × 4 = 20

Para as combinações, divida por 2! = 2 para ignorar a ordem:

nCr = 20 ÷ 2! = 10

Então há 20 maneiras ordenadas, mas apenas 10 pares distintos. Em escala maior, a quantidade de mãos de pôquer de 5 cartas de um baralho de 52 é uma combinação (a ordem na sua mão não importa): C(52, 5) = 2 598 960.

Perguntas frequentes

Quando usar permutações e quando usar combinações?

Use **permutações** quando a disposição ou a sequência importa: ordens de chegada em uma corrida, códigos PIN, assentos em fila. Use **combinações** quando só importa quais itens foram escolhidos, não a ordem deles: números de loteria, uma comissão, uma mão de cartas. Se trocar duas escolhas produz um resultado genuinamente diferente, é uma permutação.

O que significam nPr e nCr?

São notação padrão: **nPr** é a quantidade de permutações de r itens entre n, e **nCr**, a quantidade de combinações. nCr também se escreve C(n, r) ou "coeficiente binomial" e se lê "combinação de n elementos tomados r a r". Aqui n é a quantidade total de itens e r quantos você escolhe.

Por que a combinação divide por r!?

Porque cada combinação de r itens pode ser ordenada de r! maneiras distintas, e as permutações contam todas separadamente. Dividir o número de permutações por r! reduz cada grupo de ordenações a uma só, deixando apenas as seleções distintas. Por isso nCr = nPr ÷ r!.

r pode ser maior que n?

Não: você não pode escolher mais itens do que possui, então as duas contagens ficam indefinidas quando r supera n, e esta calculadora não devolve nenhum valor. Escolher todos os n (r = n) dá exatamente uma combinação, e não escolher nenhum (r = 0) também dá uma: a seleção vazia.

E se os itens puderem se repetir?

Estas fórmulas supõem que cada item é escolhido no máximo uma vez (seleção **sem reposição**). Se forem permitidas repetições — como um código de 4 dígitos em que os dígitos podem se repetir — a contagem é diferente (para o caso ordenado com repetição é simplesmente nʳ). Esta calculadora cobre o caso padrão, sem repetições.

Como isso se relaciona com a probabilidade?

As combinações são a base de muitos cálculos de probabilidade: a probabilidade de uma mão ou de um sorteio de loteria específicos é um resultado favorável dividido pelo número total de combinações. A distribuição binomial, por exemplo, usa nCr para contar de quantas maneiras k sucessos podem ocorrer em n ensaios.