Calculadora de fatoração em fatores primos

Como funciona

Um primo é um número inteiro maior que 1 cujos únicos divisores são 1 e ele mesmo (2, 3, 5, 7, 11, …). O teorema fundamental da aritmética diz que todo número inteiro maior que 1 é primo ou pode ser escrito como produto de primos de uma única maneira, a menos da ordem. Esse produto único é a fatoração em fatores primos do número.

A calculadora a encontra por divisões sucessivas: ela testa o menor primo, 2, e o divide tantas vezes quantas couber de forma exata, depois passa para 3, 5, 7 e assim por diante, até a raiz quadrada do que resta. O que sobrar no final é, em si, um primo. Os fatores repetidos são agrupados em potências, então 2 × 2 × 2 se torna 2³.

Junto com a fatoração, a calculadora informa duas contagens: o número de primos distintos (quantos primos diferentes aparecem) e o total de fatores primos (os mesmos primos contados com suas repetições). Essas contagens são a base do máximo divisor comum, do mínimo múltiplo comum e da simplificação de frações.

Exemplo resolvido

Considere 360. Divida por 2 três vezes (360 → 180 → 90 → 45), depois por 3 duas vezes (45 → 15 → 5), e por fim por 5 uma vez, restando 1. Os primos usados são 2, 2, 2, 3, 3, 5, que se agrupam em 2³ × 3² × 5. Isso dá 3 primos distintos e 6 fatores primos no total.

Perguntas frequentes

Como se encontra a fatoração em fatores primos de um número?

Divida o número pelo menor primo que o divide de forma exata e depois repita com o quociente até chegar a 1. Os primos pelos quais você dividiu, agrupados em potências, são a fatoração. Para 360, isso dá 2³ × 3² × 5.

O que é o teorema fundamental da aritmética?

Ele estabelece que todo número inteiro maior que 1 é produto de números primos de uma única maneira, sem levar em conta a ordem dos fatores. Por isso a fatoração em fatores primos de um número é única: só há uma resposta correta.

O que significa 2³ × 3² × 5?

Os expoentes indicam quantas vezes cada primo se repete: 2³ é 2 × 2 × 2 = 8, e 3² é 3 × 3 = 9. Ao multiplicar 8 × 9 × 5 obtém-se 360, o número original.

O 1 é um número primo e pode ser fatorado?

Não. Por definição, um primo é maior que 1, então 1 não é nem primo nem composto e não tem fatoração em primos. O menor número com fatoração é 2, que é primo em si mesmo.

Qual é a diferença entre primos distintos e total de fatores primos?

Os primos distintos contam quantos primos *diferentes* aparecem; o total de fatores primos os conta *com repetições*. Para 360 = 2³ × 3² × 5, há 3 primos distintos (2, 3, 5), mas 6 fatores primos no total (três 2, dois 3 e um 5).

Para que serve a fatoração em primos?

Ela é a base para encontrar o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de vários números, para simplificar frações e na criptografia, onde a dificuldade de fatorar números muito grandes mantém seguros os dados criptografados.