Verificador de números primos — um número é primo?

Como funciona

Um número primo é um número inteiro maior que 1 que tem exatamente dois divisores: 1 e ele mesmo. Os números com mais divisores são compostos. Por convenção, 1 não é nenhum dos dois — tem um único divisor —, então os primos começam em 2, o único primo par.

Para testar um número n, tente dividi-lo por cada inteiro a partir de 2. Você só precisa ir até √n: se até lá nenhum divisor for encontrado, nenhum existe, porque qualquer fator maior que √n formaria par com um menor que √n que você já teria detectado. O primeiro divisor encontrado é o menor fator primo; se você chegar a √n sem nenhum, n é primo.

Exemplo resolvido

O 17 é primo? Verifique os divisores até √17 ≈ 4,1, então teste 2, 3 e 4: 17 é ímpar (não ÷2), 1 + 7 = 8 não é múltiplo de 3, e não é ÷4. Nenhum divisor — então 17 é primo, e seu menor fator é o próprio 17.

O 15 é primo? √15 ≈ 3,9, então teste 2 e 3: é ímpar, mas 1 + 5 = 6 é múltiplo de 3, então 3 divide 15. Isso faz de 15 um número composto, com menor fator 3 (15 = 3 × 5). Um quadrado perfeito como 49 também é composto: seu menor fator é 7.

Perguntas frequentes

Como verifico se um número é primo?

Tente dividi-lo por cada inteiro de 2 até sua raiz quadrada. Se algum o divide de forma exata, o número é composto; se nenhum o divide, ele é primo. Você pode parar na raiz quadrada porque um fator acima dela sempre tem um par abaixo. Para 91: √91 ≈ 9,5, e 7 o divide (91 = 7 × 13), então ele é composto.

Por que 1 não é um número primo?

Porque um primo é definido com exatamente dois divisores distintos, 1 e ele mesmo, e 1 tem um único divisor (ele mesmo). Excluir o 1 também mantém limpo o teorema fundamental da aritmética: todo número inteiro maior que 1 se fatora em primos de uma única maneira, o que falharia se o 1 contasse como primo.

O 2 é realmente primo?

Sim: 2 é o menor primo e o único par. Seus únicos divisores são 1 e 2. Todos os demais números pares são divisíveis por 2, então nenhum outro número par pode ser primo. Depois do 2, todos os primos são ímpares.

O que é o menor fator e por que ele é útil?

É o menor número inteiro maior que 1 que divide o número, e é sempre um primo. Ele diz num relance se o número é primo (o menor fator é igual ao próprio número) ou composto (é menor), e é o primeiro passo para encontrar a fatoração em fatores primos completa do número.

Como um computador pode verificar números enormes com rapidez?

As divisões sucessivas até √n servem para números moderados, e é isso que este verificador usa. Para números muito grandes (centenas de dígitos) usam-se, em vez disso, testes de primalidade especializados como o de Miller–Rabin, já que verificar cada divisor demoraria demais. A definição de primo é a mesma; só muda o método.

O que são primos gêmeos e outros padrões?

Os primos ficam mais escassos à medida que os números crescem, mas nunca acabam (há infinitos). Alguns vêm em pares separados por dois — os **primos gêmeos** como 17 e 19 —, e há muitos outros padrões e questões em aberto. Esta ferramenta verifica um número por vez; o menor fator que ela informa é a chave para saber se esse número se junta aos primos.