Calculadora de progressão aritmética — termo e soma

Como funciona

Uma progressão aritmética (PA) é uma lista de números em que cada termo é o anterior mais uma constante, a razão r. A partir do primeiro termo a₁, a progressão é a₁, a₁ + r, a₁ + 2r, e assim por diante.

Para chegar ao n-ésimo termo você dá n − 1 passos de tamanho r a partir do primeiro termo, conforme a Wolfram MathWorld:

aₙ = a₁ + (n − 1)r

A soma dos n primeiros termos tem um atalho elegante. Ao emparelhar o primeiro termo com o último, o segundo com o penúltimo, e assim por diante, cada par soma a₁ + aₙ, o que dá:

Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2

Isso é a quantidade de termos vezes a média do primeiro e do último termo. É a mesma ideia que Gauss usou, notoriamente, para somar de 1 a 100 em segundos.

Exemplo resolvido

Tome a₁ = 2 e r = 3. O 10º termo é 2 + (10 − 1) × 3 = 2 + 27 = 29. A soma dos 10 primeiros termos é 10 × (2 + 29) / 2 = 10 × 31 / 2 = 155. A progressão é 2, 5, 8, 11, …, 29.

Perguntas frequentes

O que é uma progressão aritmética?

É uma progressão em que cada termo difere do anterior pela mesma quantidade fixa, a razão. Por exemplo, 2, 5, 8, 11, … tem razão 3.

Como encontrar o n-ésimo termo?

Some n − 1 cópias da razão ao primeiro termo: aₙ = a₁ + (n − 1)r. Com a₁ = 2 e r = 3, o 10º termo é 2 + 9 × 3 = 29.

Como encontrar a soma de uma progressão aritmética?

Multiplique a quantidade de termos pela média do primeiro e do último termo: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Para os 10 primeiros termos de 2, 5, 8, …, isso é 10 × (2 + 29)/2 = 155.

O que é a razão?

É o espaçamento constante entre termos consecutivos. Subtraia qualquer termo do seguinte para encontrá-la — em 3, 7, 11, 15 a razão é 4. Uma razão negativa gera uma progressão decrescente.

A razão pode ser negativa ou decimal?

Sim. Uma razão negativa dá uma progressão decrescente (20, 16, 12, …), e uma razão decimal dá passos fracionários (0,5; 1; 1,5; …). As fórmulas funcionam do mesmo jeito.

Qual é a diferença para uma progressão geométrica?

Uma progressão aritmética soma uma constante a cada passo, enquanto uma progressão geométrica multiplica por uma razão constante. Assim, 2, 5, 8 é aritmética (soma 3), mas 2, 6, 18 é geométrica (multiplica por 3).