Calculadora de triángulo — área por la fórmula de Herón

Cómo funciona

La fórmula de Herón halla el área de cualquier triángulo con solo sus tres lados, sin necesidad de altura ni de ángulos. Primero calcula el semiperímetro, la mitad del perímetro:

s = (a + b + c) ÷ 2

Después, el área es la raíz cuadrada de s por sus diferencias con cada lado:

A = √(s(s − a)(s − b)(s − c))

Para que las tres longitudes formen un triángulo real, deben cumplir la desigualdad triangular: cada lado debe ser más corto que la suma de los otros dos. Si no (por ejemplo 1, 1, 5), no existe ningún triángulo y no hay área que calcular.

Ejemplo resuelto

Toma el triángulo 3-4-5. El semiperímetro es s = (3 + 4 + 5) ÷ 2 = 6. Entonces:

A = √(6 × (6 − 3) × (6 − 4) × (6 − 5)) = √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6

Su perímetro es 3 + 4 + 5 = 12. Como 3-4-5 es un triángulo rectángulo, puedes comprobarlo con ½ × base × altura = ½ × 3 × 4 = 6 —coinciden—. Un triángulo equilátero de lado 5 tiene un área de 25√3 ⁄ 4 ≈ 10,83.

Preguntas frecuentes

¿Cómo hallo el área de un triángulo a partir de sus lados?

Usa la fórmula de Herón. Suma los tres lados y divide entre dos para obtener el semiperímetro s, luego toma A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Para los lados 7, 8, 9: s = 12, así que A = √(12 × 5 × 4 × 3) = √720 ≈ 26,83. Funciona para cualquier triángulo cuyos lados se conozcan.

¿Qué es el semiperímetro?

La mitad del perímetro: s = (a + b + c) ÷ 2. Es la cantidad en torno a la cual se construye la fórmula de Herón: el área surge de s y de cuánto supera a cada lado. Para un triángulo 3-4-5, el perímetro es 12 y el semiperímetro es 6.

¿Por qué los tres lados deben cumplir la desigualdad triangular?

Porque un lado más largo que la suma de los otros dos no puede cerrarse en un triángulo: los dos lados más cortos no alcanzan a cruzar el hueco. Así, a, b y c deben ser cada uno menor que la suma de los otros dos (1, 1, 5 falla). Cuando no lo son, la fórmula de Herón tomaría la raíz cuadrada de un número negativo, lo que indica que no hay triángulo.

¿Necesito la altura o algún ángulo?

No, ese es el atractivo de la fórmula de Herón. Si solo conoces las longitudes de los tres lados, da el área directamente, sin tener que hallar primero una altura o un ángulo. Si por casualidad conoces una base y su altura perpendicular, ½ × base × altura es más simple.

¿Funciona para triángulos rectángulos, isósceles y equiláteros?

Sí, para todo triángulo. El área por Herón de un triángulo rectángulo coincide con ½ × cateto × cateto; un triángulo equilátero de lado a da A = √3 ⁄ 4 × a². La fórmula de Herón no necesita saber de qué tipo es: los lados llevan toda la información.

¿Cómo hallo la altura a partir del área?

Reordena área = ½ × base × altura: la altura respecto a una base elegida es 2 × área ÷ base. Así, un triángulo de área 6 sobre una base de 4 tiene una altura de 2 × 6 ÷ 4 = 3. Cada lado puede servir de base, dando una altura correspondiente diferente.