Calculadora de triângulo — área pela fórmula de Heron

Como funciona

A fórmula de Heron encontra a área de qualquer triângulo apenas a partir dos seus três lados — sem precisar de altura ou ângulo. Primeiro calcule o semiperímetro, a metade do perímetro:

s = (a + b + c) ÷ 2

Depois, a área é a raiz quadrada de s vezes suas diferenças em relação a cada lado:

A = √(s(s − a)(s − b)(s − c))

Para que os três comprimentos formem de fato um triângulo real, eles precisam satisfazer a desigualdade triangular: cada lado deve ser mais curto que a soma dos outros dois. Se não (por exemplo 1, 1, 5), não existe nenhum triângulo e não há área a calcular.

Exemplo resolvido

Tome o triângulo 3-4-5. O semiperímetro é s = (3 + 4 + 5) ÷ 2 = 6. Então:

A = √(6 × (6 − 3) × (6 − 4) × (6 − 5)) = √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6

Seu perímetro é 3 + 4 + 5 = 12. Como 3-4-5 é um triângulo retângulo, você pode conferir isso com ½ × base × altura = ½ × 3 × 4 = 6 — os valores coincidem. Um triângulo equilátero de lado 5 tem área 25√3 ⁄ 4 ≈ 10,83.

Perguntas frequentes

Como encontro a área de um triângulo a partir dos seus lados?

Use a fórmula de Heron. Some os três lados e divida por dois para obter o semiperímetro s, depois tome A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Para os lados 7, 8, 9: s = 12, então A = √(12 × 5 × 4 × 3) = √720 ≈ 26,83. Funciona para qualquer triângulo cujos lados sejam conhecidos.

O que é o semiperímetro?

A metade do perímetro — s = (a + b + c) ÷ 2. É a quantidade em torno da qual a fórmula de Heron é construída: a área vem de s e de quanto ele excede cada lado. Para um triângulo 3-4-5, o perímetro é 12 e o semiperímetro é 6.

Por que os três lados precisam satisfazer a desigualdade triangular?

Porque um lado mais longo que a soma dos outros dois não consegue se fechar em um triângulo — os dois lados mais curtos não alcançam para atravessar o vão. Assim, a, b e c precisam ser cada um menor que a soma dos outros dois (1, 1, 5 falha). Quando não são, a fórmula de Heron tomaria a raiz quadrada de um número negativo, o que indica que não há triângulo.

Preciso da altura ou de algum ângulo?

Não — esse é o atrativo da fórmula de Heron. Se você conhece apenas os comprimentos dos três lados, ela dá a área diretamente, sem precisar encontrar antes uma altura ou um ângulo. Se por acaso você conhece uma base e sua altura perpendicular, ½ × base × altura é mais simples.

Ela funciona para triângulos retângulos, isósceles e equiláteros?

Sim, para todo triângulo. A área por Heron de um triângulo retângulo coincide com ½ × cateto × cateto; um triângulo equilátero de lado a dá A = √3 ⁄ 4 × a². A fórmula de Heron não precisa saber de que tipo ele é — os lados carregam toda a informação.

Como encontro a altura a partir da área?

Reorganize área = ½ × base × altura: a altura em relação a uma base escolhida é 2 × área ÷ base. Assim, um triângulo de área 6 sobre uma base de 4 tem altura 2 × 6 ÷ 4 = 3. Cada lado pode servir de base, dando uma altura correspondente diferente.